El Péndulo Invertido

El Péndulo Invertido

Los péndulos invertidos son una familia de artefactos que constituyen un banco de pruebas muy completo e interesante para la ingeniería de control No Lineal. El más estudiado de los miembros de esta familia es el denominado control invertido sobre el vehículo, al que corrientemente se denomina como carro.

Durante los años 60 la demostración consistía en un péndulo o varilla que gira libremente por uno de sus extremos mediante una articulación situada sobre un carro que se mueve sobre una grúa rectilínea horizontal bajo la acción de una fuerza F, que es la acción de control con la que se pretende actuar sobre la posición de la varilla. El funcionamiento de este sistema consiste en situar de forma manual el péndulo en la posición vertical invertida, soltarlo luego y que forma autónoma, realimentando su posición, el péndulo continuase en la posición invertida mediante la adecuada actuación sobre el carro.
El problema de control, así considerado, es local y su interés residía en que se trataba de estabilizar una posición inestable en bucle abierto lo que, como se sabe, constituye un problema de control muy notable. Este problema por su carácter local, puede resolverse con métodos lineales y así se ha hecho desde los años 60. Es importante destacar que en sistemas lineales, la estabilización en bucle cerrado de un punto inestable en bucle abierto, no ofrece particulares problemas; éstos aparecen cuando el sistema es no lineal. El inconveniente con esta versión del péndulo, a la hora de plantear globales, reside en que el recorrido del carro está acotado, por lo que si se alcanza uno de los extremos del soporte horizontal el sistema deja de funcionar.


Condiciones del problema y requerimientos de diseño
El carrito con un péndulo invertido, se muestra abajo, es "empujado" con una fuerza impulsiva, F. Determinemos las ecuaciones dinámicas de movimiento del sistema, y linealicemos cerca del ángulo del péndulo, theta = Pi (en otras palabras, asumamos que péndulo no se aparta más que unos pocos grados de la vertical, elegida en un ángulo de Pi). Encontremos un controlador para satisfacer todos los requerimientos de diseño dados arriba.
Para este ejemplo, asumamos que




Para las secciones de PID, root locus, y respuesta en frecuencia de este problema sólo estamos interesados en el control de la posición del péndulo; esto es porque las técnicas usadas en estos tutoriales solo pueden aplicarse a sistema una-entrada-una-salida (SISO). Por lo tanto, ninguno de los criterios de diseño lidian con la posición del carro. En estas secciones asumimos que el sistema comienza en el equilibrio, y experimenta una fuerza impulsiva de 1N. El péndulo debe volver a su posición vertical dentro de los 5 segundos, y nunca moverse más que 0.05 radianes fuera de la vertical.
Los requerimientos de diseño para este sistema son:

....Tiempo de establecimiento menor que 5 segundos.
....Ángulo del Péndulo nunca mayor que 0.05 radianes de la vertical.

Sin embargo, con el método de espacio de estado seremos más capaces de manejar un sistema multi-salida. Por lo tanto, para esta sección del ejemplo del Péndulo Invertido intentaremos controlar tanto el ángulo del péndulo cuanto la posición del carro. Para hacer más desafiante el diseño hemos de aplicar una entrada escalón al carrito. El carrito debe lograr estar en su posición deseada dentro de los 5 segundos y tener un tiempo de subida menor que 0.5 segundos. Además limitaremos el sobrepico del péndulo a 20 grados (0.35 radianes), y también deberá establecerse antes de los 5 segundos.

Los requerimientos de diseño para el ejemplo en espacio de estado del Péndulo Invertido son:
....Tiempo de establecimiento de x y theta menor que 5 segundos.
....Tiempo de Subida para x menor que 0.5 segundos.
....Sobrepico de theta menor que 20 grados (0.35 radianes).

Análisis de las fuerzas y sistema de ecuaciones
Abajo figuran los dos diagramas de cuerpo libre del sistema.

Sumando las fuerzas en el diagrama de cuerpo libre del carro en la dirección horizontal, se obtiene la siguiente ecuación del movimiento:




Note que también puede sumar las fuerzas en la dirección vertical, pero no se ganará ninguna información útil.
Sumando las fuerzas en el diagrama de cuerpo libre del péndulo en la dirección horizontal, puede obtener an ecuación para N:




Si sustituye esta ecuación en la primera ecuación, se obtiene la primera ecuación del movimiento de este sistema:para obtener la segunda ecuación de movimiento, sume las fuerzas perpendiculares al péndulo. Si resuelve el sistema a lo largo de este eje se ahorrará un montón de álgebra. Debería obtener la siguiente ecuación:
Para librarse de los términos P y N en la ecuación anterior, sume los momentos sobre el centroide del péndulo para obtener la siguiente ecuación:
Combinando estas dos últimas ecuaciones, se obtiene la segunda ecuación dinámica:
Como Matlab solo puede trabajar con funciones lineales, este conjunto de ecuaciones debería ser linealizado alrededor de theta = Pi. Asuma que theta = Pi + ø(ø representa un pequeño ángulo en la dirección vertical). Por lo tanto, cos(theta) = -1, sin(theta) = -ø, y (d(theta)/dt)^2 =0. Luego de la linealización las dos ecuaciones de movimiento serán :

(donde u representa la entrada)

1. Función de Transferencia
Para obtener analíticamente la función de transferencia de las ecuaciones del sistema linealizado , debemos tomar primero la transformada de Laplace de las ecuaciones del sistema. Las transformadas de Laplace son:

NOTE: Cuando se halla la función de transferencia se considera condiciones iniciales nulas.

Como como estamos mirando al ángulo Phi como la salida de interés, resuelva la primera ecuación para X(s), y entonces sustitúyala en la segunda ecuación:
Re-ordenando, la función de transferencia es:


donde,

De la función de transferencia de arriba puede verse que hay un polo y un cero en el origen. Estos puede ser cancelados y la función de transferencia será:
2. Espacio de Estado
Luego de un poco de álgebra, las linealizadas ecuaciones del sistema pueden también representarse en la forma espacio de estado:

La matriz C es de 2 por 4, porque la posición del carro y la posición del péndulo son parte de la salida. Para el problema de diseño en espacio de estado estaremos controlando un sistema de salida múltiple por lo que observaremos la posición del carro en el primer renglón de salida y la del péndulo en el segundo renglón.

Representación en Matlab y respuesta a lazo abierto
1. Función de Transferencia

La función de transferencia hallada a partir de las transformadas de Laplace puede ser establecidas con Matlab ingresando el numerador y el denominador como vectores. Cree un archivo-m y copie el siguiente texto para modelar la función de transferencia:

La salida debería ser:

num = 4.5455 0 den = 1.0000 0.1818 -31.1818 -4.4545

Para observar la respuesta del sistema de la velocidad a una fuerza impulsiva aplicada al carro agregue las siguientes líneas al final de su archivo-m:

t=0:0.01:5;

impulse(num,den,t)

axis([0 1 0 60])

Nota: Los comandos Matlab de la toolbox de control de sistema se destacan en rojo.
Debería obtenerse el siguiente gráfico de respuesta de la velocidad :

Como puede ver del gráfico, la respuesta es totalmente insatisfactoria. No es estable a lazo abierto. Puede cambiar los ejes para ver más de la respuesta si necesita convencerse que el sistema es inestable.
1. Espacio de Estado
Abajo, se muestra cómo se encara el problema usando Matlab para el modelo en espacio de estado. Si copia el siguiente texto a un archivo-m y lo ejecuta, Matlab le dará las matrices A, B, C, y D para el modelo en espacio de estado y un gráfico de la posición del carro y ángulo del péndulo como respuesta a un entrada escalón de 0.2 m aplicada al carro.

M = .5;
m = 0.2;
b = 0.1;
i = 0.006;
g = 9.8;l = 0.3;
p = i*(M+m)+M*m*l^2; %denominador para las matrices A y B
A = [0 1 0 0;
0 -(i+m*l^2)*b/p (m^2*g*l^2)/p 0;
0 0 0 1;
0 -(m*l*b)/p m*g*l*(M+m)/p 0]

B = [ 0;
(i+m*l^2)/p;
0;
m*l/p]

C = [1 0 0 0;
0 0 1 0]
D = [0;
0]
T=0:0.05:10;
U=0.2*ones(size(T));
[Y,X]=lsim(A,B,C,D,U,T);
plot(T,Y)
axis([0 2 0 100])
Luego de correr este archivo-m, debería verse la siguiente salida:
A = 0 1.0000 0 0
0 -0.1818 2.6727 0
0 0 0 1.0000
0 -0.4545 31.1818 0
B = 0
1.8182
0
4.5455

C = 1 0 0 0
0 0 1 0


D = 0
0






La línea azul representa la posición del carro y la línea verde representa el ángulo del péndulo. De esta figura y de la anterior es obvio que para mejorar la dinámica del sistema alguna especie de control tendrá que ser diseñada. En estos tutoriales se incluyen cuatro tipos de controladores : PID, lugar de raíces, respuesta en frecuencia, y espacio de estado. Abajo puede seleccionar el que quisiera usar.
Nota: Las soluciones mostradas en los ejemplos PID, root locus y respuesta en frecuencia podrían no arrojar un controlador adecuado para el problema del péndulo invertido. Como se estableció previamente, cuando pusimos este problema en el marco de una entrada y una salida, ignoramos la posición x del carro. El péndulo podrá ser estabilizado en una posición invertida si la posición x es constante o si el carrito se mueve a velocidad constante (sin aceleración). Donde fuera posible en estos ejemplos, se mostrará qué sucede con la posición del carro cuando se implemente el controlador en el sistema. Enfatizamos que el propósito de estos ejemplos es demonstrar técnicas de diseño y análisis con Matlab; no controlar realmente un péndulo invertido.

Lugar Geometrico

DISEÑO DE CONTROL MEDIANTE EL MÉTODO DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES.

El objetivo de esta práctica es utilizar el entorno RLTOOL de matlab 5.3 para realizar el diseño de sistemas de control de una manera sencilla y rápida. Para ello se utiliza la técnica del lugar geométrico de las raíces.

Desarrollo:
Sea el sistema:
2
G(s) = ---------------------
s^2 + 3 s + 2
Se desea modelar un controlador de tal manera que el sistema controlado tenga una respuesta transitoria en el tiempo a una entrada escalón unitario con un máximo sobreimpulso Mp de un 5%, y con un tiempo Ts de asentamiento al 2% de 2 segundos.

Visualización del sistema en RLTOOL.

» s=tf('s')

Transfer function:
s

» Gs=2/(s+1)/(s+2)

Transfer function:
2
-------------------
s^2 + 3 s + 2
» rltool

En FILE /IMPORT MODEL.
Seleccionar y cargar Gs en el bloque P.

a) Visualizar las restricciones en el plano S.
Mp = 0.05
Factor de amortiguamiento = 0.69
Ts(2%)=2 s
Frecuencia natural = 2.9 r/s

Gc=Kp

b) Si adicionamos un polo.

Kp
Gc = -------------------
(S+p)

c) Si adicionamos un cero.

Gc=Kp(s+z)

d) Adición de un polo y un cero (en atraso)
Kp(s+z)
Gc = -------------------
(s+p)
Donde z es mayor que p

e) Adición de un polo y un cero (en adelanto).
Kp(s+z)
Gc = -------------------
(s+p)

Donde z es menor que p

f) Compensador de adelanto
Para obtener los parámetros del compensador en adelanto ubicamos el polo y el cero de tal manera que el lugar geométrico de las raíces se intercepte con las restricciones en el plano s. Luego ubicamos los polos de lazo cerrado sobre la intersección.

Finalmente tomamos los datos del compensador de adelanto que aparece en la ventana del RLTOOL.
2.9822 (s+2.41)
Gc =---------------------------
(s+3.58)

g) evaluando la respuesta al escalón.
Preguntas:

1.-Se puede efectuar el control del sistema mostrado en clase por medio de un compensador en atraso? Argumente.
No se puede por que para ello necesitaremos del compensador de atraso que tiene la siguiente forma y condición:

Donde z es mayor que p

Y guiándonos de esa forma y condición se busco efectuar el control del sistema por medio de un compensador en atraso y se observo que cada vez que tratábamos de establecer esta condición de z mayor a p, el lugar geométrico de las raíces se aleja de la intersección entre la frecuencia natural y el factor de amortiguamiento, sin lograrlo interceptar, esto al tratar de mover z y p.

2. Existe un rango definido sobre los cuales se pueden mover el polo y el cero de un compensador o las respuestas son múltiples?
No existe un rango definido por ello diremos que existen respuestas múltiples; respuestas múltiples pues el diseño no es único.

3. De que orden es el sistema controlado?
El sistema controlado es el resultado de planta y el controlador. El sistema controlado o compensado es de tercer orden.

4. Si el orden cambia, por que se siguen analizando los polos del sistema de compensador?
A pesar del cambio de orden se sigue analizando los polos del sistema sin compensar debido a que estos son la base del sistema para lo cual querremos un valor de factor de amortiguamiento y frecuencia natural.

5. Diseñar un compensador Gc para que se cumpla que el sistema Gs1 cumpla con tener un Mp del 20% y un Ts al 2% de 5 segundos.
(s+4)
Gs1 = -------------------
s(s2+3s+2)

» s=tf('s')

Transfer function:
s

» Gs1=(s+4)/s/(s^2+3*s+2)
Transfer function:
s + 4
-----------------
s^3 + 3 s^2 + 2 s

Hallando el factor de amortiguamiento y la frecuencia natural.
» z=-(log(0.2)/sqrt(pi^2+log(0.2)^2))
z =

0.4559
» wn=4/(5*z)

wn =

1.7546

2.5137 (s+1.03)
Gc =---------------------------
(s+2.91)

Mp=0.2 y Ts=4.8s

Taylor

Taylor – LINEALIZACIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS NO LINEALES

El proceso de linealizar sistemas no lineales es importante, porque linealizar ecuaciones no lineales permite aplicar numerosos métodos de análisis lineal que proporcionen información acerca del comportamiento de los sistemas no lineales. El procedimiento de linealización que se presenta aquí se basa en la expansión de la función no lineal en series de Taylor alrededor del punto de operación y la retención solo del término lineal. Debido a que no consideramos los términos de orden superior de la expansión en series de Taylor, estos términos no considerados deben ser suficientemente pequeños; es decir, las variables sólo se desvían ligeramente de la condición de operación.
A continuación presentaremos primero los aspectos matemáticos de la técnica de linealización y después aplicaremos la técnica a un sistema hidráulico de seguimiento a fin de obtener un modelo lineal para el sistema

Aproximación lineal de modelos matemáticos no lineales.

A fin de obtener un modelo matemático lineal para un sistema no lineal, suponemos que las variables solo se desvían ligeramente de alguna condición de operación. Considere un sistema cuya entrada es x(t) y cuya salida es y(t). La relación entre y(t) y x(t) se obtiene mediante:
Si la condición de operación normal corresponde a la ecuación (3-75) se expande en series de Taylor alrededor de este punto, del modo siguiente:

en donde las derivadas df/dx, d2f/dx2, . . . se evalúan en . Si la variación es pequeña, es posible no considerar los términos de orden superior en . A continuación, la ecuación (3-76) se escribe como:

La ecuación (3-77) puede reescribirse como:

lo cual indica que es proporcional a . La ecuación (3-78) da un modelo matemático lineal para el sistema no lineal obtenido mediante la ecuación (3-75) cerca del punto de operación , .
A continuación, considere un sistema no lineal cuya salida y es una función de dos entradas x1 y x2, de modo que

A fin de obtener una aproximación lineal para este sistema no lineal, es posible expandir
la ecuación (3-79) en series de Taylor alrededor del punto de operación normal . Después, la ecuación (3-79) se convierte en

en donde las derivadas parciales se evalúan para , . Cerca del punto de operación normal, es posible no considerar los términos de orden superior. A continuación, el modelo matemático lineal de este sistema no lineal alrededor de la condición de operación normal se obtiene mediante:

La técnica de linealización presentada aquí es válida alrededor de la condición de operación. Sin embargo, si las condiciones de operación varían ampliamente, tales ecuaciones linealizadas no son adecuadas y deben manejarse ecuaciones no lineales. Es importante recordar que un modelo matemático determinado, que se use en el análisis y el diseño, puede representar con precisión la dinámica de un sistema real para ciertas condiciones de operación, pero puede no ser preciso para otras.

Sistemas Biologicos

MODELADO Y SIMULACION POR COMPUTADOR DE SISTEMAS BIOLOGICOS

I. INTRODUCCION

Los modelos matemáticos nos permiten seguir en el tiempo los procesos de muchos sistemas biológicos, estos modelos matemáticos que llevados luego en simuladores nos servirán para predecir en la forma mas exacta posible algunos comportamientos a determinados estímulos sobre estos sistemas biológicos, que por su naturaleza son como unas cajas negras para nosotros, pues no podemos ver que hay de dentro de ellos, solo podemos analizar su comportamiento en base a las respuestas que estas dan a los estímulos que nosotros les damos.

Las ecuaciones matemáticas que nos sirven para modelar los sistemas biológicos los analizamos con herramientas como la transformada de Laplace, funciones de transferencia, etc.

II. RELACION ENTRE MODELADO Y SIMULACION EN UN PROYECTO DE INVESTIGACION

La relación que existe entre estos dos conceptos es radical para obtener respuestas lo mas exactas posibles sobre el sistema en análisis, un investigador deberá notar los más mínimos detalles del sistema para tener un modelo casi exacto del sistema analizado, la simulación nos permite interactuar con el modelo esperando siempre que el comportamiento que muestra el modelo visto desde la simulación sean próximas o lo mas reales posibles.

El primer paso en el estudio de un sistema es obtener el modelo conceptual que es el que deberá reflejar lo mas exacto posible al modelo real, aquí se deberá quizás hacer muchas pruebas para lograrlo, luego vendrá el modelo matemático que analizados con herramientas como Laplace y otros nos permitirán llevarlo a la computadora y hacer su respectiva simulación.

La simulación responde a la pregunta ¿Que sucedería si…?, siempre y cuando se haya echo un buen modelo del sistema analizado, nos arrojara resultados sin estimular el sistema real, y tener una idea de lo que pasaría si estimulamos de un modo u otro a dicho sistema.

III. MODELADO DE SISTEMAS BIOLOGICOS

i. Modelado matemático de los sistemas físicos.

El método básico de modelado matemático consiste en escribir ecuaciones, generalmente diferenciales, que describan las relaciones entre las variables de entrada y salida del sistema.
Las ecuaciones diferenciales que expresan el funcionamiento dinámico de un sistema físico se obtienen principalmente utilizando las leyes fisicas del proceso.
El cuadro anterior nos da la idea de algunas variables dinámicas, con sus respectivas variables generalizadas para cada proceso físico.

ii. Transformada de Laplace.

Es el método mas utilizado para la resolución de las ecuaciones que resultan del análisis para el modelado de un sistema. Aquí algunas propiedades basicas.
La transformada de Laplace para una función del tiempo:

iii) Función de Transferencia.
Una función de transferencia es un modelo matemático que entrega la respuesta de un sistema a una señal de entrada o excitación exterior.
Uno de los primeros matemáticos en describir estos modelos fue Laplace, a través de su transformación matemática.
Por definición una función de transferencia se puede determinar según la expresión: donde H (s) es la función de transferencia (también notada como G (s) ); Y (s) es la transformada de Laplace de la respuesta y U (s) es la transformada de Laplace de la señal de entrada.
La función de transferencia también puede considerarse como la respuesta de un sistema inicialmente inerte a un impulso como señal de entrada:

La salida o respuesta en frecuencia del sistema se halla entonces de
y la respuesta como función del tiempo se halla con la transformada de Laplace inversa de Y(s):
Cualquier sistema físico (mecánico, eléctrico, etc.) se puede traducir a una serie de valores matemáticos a través de los cuales se conoce el comportamiento de estos sistemas frente a valores concretos.
Por ejemplo, en análisis de circuitos eléctricos, la función de transferencia se representa como:
iv. Diagrama de bloques.

El Diagrama de Bloques es la representación gráfica del funcionamiento interno de un sistema, que se hace mediante bloques y sus relaciones, y que además definen la organización de todo el proceso interno, sus entradas y sus salidas.
Diagrama de Bloques de Procesos de Producción es un diagrama utilizado para indicar la manera en la que se elabora cierto producto alimenticio, especificando la materia prima, la cantidad de procesos y la forma en la que se presenta el producto terminado.
Diagrama de Bloques de Modelo Matemático es el utilizado para representar el control de sistemas físicos (o reales) mediante un modelo matemático, en el cual, intervienen gran cantidad de variables que se relacionan en todo el proceso de producción. El modelo matemático que representa un sistema físico de alguna complejidad conlleva a la abstracción entre la relación de cada una de sus partes, y que conducen a la pérdida del concepto global. En ingeniería de control, se han desarrollado una representación gráfica de las partes de un sistema y sus interacciones. Luego de la representación gráfica del modelo matemático, se puede encontrar la relación entre la entrada y la salida del proceso del sistema.
Elaboración
El primer bloque especifica la materia prima de la que proviene el producto. Los siguientes bloques son procesos escritos de manera infinitiva y llevan siempre o una indicación de proceso (izquierda) y gastos másicos (derecha)
· Las indicaciones de proceso son variantes del tipo físicas que se deben considerar para que el producto sea de elaboración adecauda. Cada país tiene sus propios estándares para elaborar productos. Las indicaicones de proceso son básicamente la temperatura, la presión y los tiempos de reposo. Los gastos másicos son adiciones de ciertas sustancias ajenas a la materia prima auxiliares a un proceso.
IV. SIMULACION DE SISTEMAS POR COMPUTADOR

La simulación en su forma mas simple consiste en la ejecución en el computador de un modelo matemático para obtener datos simulados. La simulación por computador emplea un modelo del sistema, las condiciones reales del mismo y la evolucion de las variables de entrada a las cuales estara sujeta el sistema. Al considerar las técnicas de simulación cabe distinguir entre las analogicas digitales e hibridas.

Técnicas analógicas e hibridas.

Un sistema puede simularse empleando computadores analogicos o digitales. Un computador analogico generalmente tiene disponibles las funciones matemáticas de integración, multiplicación por una constante, multiplicación de 2 variables y suma de varias variables, ademas de otras.

Técnicas digitales.

Se apoyan en computadores digitales y utilizan lenguajes de propósito general (FORTRAN, Pascal,…) y librerías especializadas o bien lenguajes de simulación. En caso de utilizar lenguajes de propósito general, se requiere de una elevada formación en cálculo numérico y algorítmico, y los programas resultantes carecen normalmente de flexibilidad. Por el contrario, los lenguajes de simulación digital están diseñados para agilizar y facilitar el estudio de sistemas. Son muy flexibles y sencillos en el uso.

APLICACIONES: Termorregulación, sistemas de regulación visual y modelo de la glucosa de la sangre

Introducción:

El ser humano es un animal homeotermo que en condiciones fisiológicas normales mantiene una temperatura corporal constante y dentro de unos límites muy estrechos, entre 36,6 +/- 0,38ºC, a pesar de las amplias oscilaciones de la temperatura ambiental. Esta constante biológica se mantiene gracias a un equilibrio existente entre la producción de calor y las pérdidas del mismo y no tiene una cifra exacta. Existen variaciones individuales y puede experimentar cambios en relación al ejercicio, al ciclo menstrual, a los patrones de sueño y a la temperatura del medio ambiente. La temperatura axilar y bucal es la más influida por el medio ambiente, la rectal puede ser modificada por el metabolismo del colon y el retorno venosos de las extremidades inferiores y la timpánica por la temperatura del pabellón auricular y del conducto auditivo externo. También existen diferencias regionales importantes, pudiendo encontrarse diferencias de hasta 10-15ºC entre la existente en los órganos centrales (corazón, cerebro y tracto gastrointestinal) y las puntas de los dedos. La medición más fiable es la tomada en el esófago (en su cuarto inferior), siendo ésta especialmente útil en las situaciones de hipotermia, ya que presenta la ventaja de modificarse al mismo tiempo que la de los territorios más profundos del organismo.

REGULACIÓN DE LA TEMPERATURA CORPORAL

El mantenimiento de una temperatura corporal dentro de los límites anteriormente expuestos solo es posible por la capacidad que tiene el cuerpo para poner en marcha una serie de mecanismos que favorecen el equilibrio entre los que facilitan la producción de calor y los que consiguen la pérdida del mismo. Estos mecanismos se exponen a continuación.

Las principales fuentes de producción basal del calor son a través de la termogénesis tiroidea y la acción de la trifosfatasa de adenosina (ATPasa) de la bomba de sodio de todas las membranas corporales. La ingesta alimentaria incrementa el metabolismo oxidativo

que se produce en condiciones basales. Estos mecanismos son obligados en parte, es decir, actúan con independencia de la temperatura ambiental, pero en determinadas circunstancias pueden actuar a demanda si las condiciones externas así lo exigen.

ANATOMÍA DE LA TERMORREGULACIÓN

La actividad de la musculatura esquelética tienen también una gran importancia en el aumento de la producción de calor . La cantidad de calor producida puede variar según las necesidades. Cuando está en reposo contribuye con un 20%, pero durante el ejercicio esta cifra puede verse incrementada hasta 10 veces más. El escalofrío es el mecanismo más importante para la producción de calor y este cesa cuando la temperatura corporal desciende por debajo de los 30ºC. El metabolismo muscular aumenta la producción de calor en un 50% incluso antes de iniciarse el escalofrío, pero cuando éste alcanza su intensidad máxima la producción corporal de calor puede aumentar hasta 5 veces lo normal .

Otro mecanismo de producción de calor es el debido al aumento del metabolismo celular por efecto de la noradrenalina y la estimulaciónón simpática. Este mecanismo parece ser proporcional a la cantidad de grasa parda que existe en los tejidos. El adipocito de la grasa parda, que posee una rica inervación simpática, puede ser activado por los estímulos procedentes del hipotálamo y transmitidos por vía simpática con producción de noradrenalina, la cual aumenta la producción de AMP-cíclico, que a su vez activa una lipasa que desdobla los triglicéridos en glicerol y ácidos grasos libres. Estos pueden volver a sintetizar glicéridos o bien ser oxidados con producción de calor . Este mecanismo, que tiene una importancia relativa en el adulto por su escasa cantidad de grasa parda, no es así en los recién nacidos y lactantes donde tiene una importancia capital, ya que la grasa parda puede llegar a suponer hasta un 6% de su peso corporal y son incapaces de desarrollar escalofríos o adoptar una postura protectora ante el frío.
El calor absorbido por la ingesta de alimentos y bebidas calientes también puede producir un mínimo aumento de calor, lo mismo que las radiaciones captadas por el cuerpo y procedentes fundamentalmente del sol (ultravioletas) o de lugares próximos (infrarrojos).

REGULACION CENTRAL DE LA TEMPERATURA.

El control de la temperatura corporal, que integra los diferentes mecanismos de producción y pérdida de calor con sus correspondientes procesos físicos y químicos, es una función del hipotálamo. En concreto, en la región preóptica del hipotálamo anterior se ha situado al centro que regula el exceso de calor y en el hipotálamo posterior al centro de mantenimiento del calor que regula el exceso de frío y la pérdida de calor. Esta teoría dualista es bastante simplista para ser plenamente aceptada y, al parecer, existen complejos y múltiples circuitos entre estos dos centros hipotalámicos que todavía no se han descubierto. No obstante, el sistema regulador de la temperatura es un sistema de control por retroalimentación negativa y posee tres elementos esenciales:

1) Receptores que perciben las temperaturas existentes en el núcleo central.

2) Mecanismos efectores que consisten en los efectos metabólicos, sudomotores y vasomotores.

3) Estructuras integradoras que determinan si la temperatura existente es demasiado alta o demasiado baja y que activan la respuesta motora apropiada.

Diseño de un Compensador de Adelanto - Matlab

Diseño de un Compensador de Adelanto

Programación en Matlab – Script:

%--------------------------------------

%Diseño de un Compensador de Adelanto

%Ogata K, Ingeniería de Control Moderna

%Tercera Edicion

%Ejemplo 9.1, pag. 615

%--------------------------------------

close all;clear all;clc;

fprintf('-------------------------------------\n')

fprintf('Diseño de un Compensador de Adelanto\n')

fprintf('Ogata K, Ingeniería de Control Moderna\n')

fprintf('Tercera Edicion\n')

fprintf('Ejemplo 9.1, pag. 615\n')

fprintf('--------------------------------------\n')

%Planta

num=4;den=[1 2 0];

fprintf('\n**Planta del Sistema**\n')

planta=tf(num,den)

%Requerimientos del sistemasDiseño

kv=20; MFD=50;MG=50;

kva=polyval(num,0)/polyval(deconv(den,[1 0]),0);

k=kv/kva;

%Se continúa el diseño sobre plantaaux=k*planta

numaux=k*num; denaux=den; plantaaux=tf(numaux,denaux);

%Se halla los vectores de Gnancia (gandB) y Fase (fase)

w=logspace(-1,2,500);[gan,fase]=bode(numaux,denaux,w);

gandB=20*log10(gan);

%Se halla el margen de fase: MF

Vectindices=find(gandB<0);indice=vectindices(1);mf=180-(-fase(indice));

% Se halla la fase a compensar: Fadic

Fadic=MFD-MF+5;

%alfa

alfa=(1-sin(Fadic*pi/180))/(1+sin(Fadic*pi/180));

%Ganancia del Compensador

r=20*log10(sqrt(1/alfa));

%Se halla la nueva frecuencia de cruce de ganancia: wn

Vectindice2=find(gandB<-r);indice2=Vectindice2(1);wm=w(indice2);

%T

T=1/sqrt(alfa)/wm;

%Parámetros del Compensador

Zc=1/T;Pc=1/alfa/T;Kc=k/alfa;

fprintf('\n**Compensador Diseñado**\n')

Comp=tf(Kc*[1 Zc],[1 Pc])

%Planta Compensada

fprintf('\n**Planta Compensada**\n')

plantacompensada=series(planta,Comp)

%Respuesta en el Tiempo

figure(1);step(feedback(planta,1)),hold on, grid on

step(feedback(plantacompensada,1))

title('Respuesta en el Tiempo')

legend('Planta Sin Compensador','Planta Compensada')

%Respuesta en Frecuencia

figure(2);bode(planta),hold on, grid on

bode(plantacompensada)

title('Respuesta en Frecuencia')

legend('Planta Sin Compensador','Planta Compensada')

Resultados de la compilación del programa:

------------------------------------------------------

Diseño de un Compensador de Adelanto

Ogata K, Ingeniería de Control Moderna

Tercera Edicion

Ejemplo 9.1, pag. 615

-------------------------------------------------------

**Planta del Sistema**

Transfer function:

4

---------

s^2 + 2 s

**Compensador Diseñado**

Transfer function:

40.39 s + 178.2

---------------

s + 17.82

**Planta Compensada**

Transfer function:

161.5 s + 713

-------------------------

s^3 + 19.82 s^2 + 35.65 s

Gráficas resultantes

Grafica Nº 1

Grafica Nº 2

Control P I D

Acción de control Proporcional-Integral-Derivativa (PID)

La combinación de una acción de control proporcional, una acción de control integral y una acción de control derivativa se denomina acción de control proporcional-integral-derivativa (PID).
(a) Diagrama de bloques de un controlador proporcional-derivativo.
(b) Diagrama que muestran una entrada rampa unitaria.
(c) Diagrama que muestran la salida del controlador.


Esta acción combinada tiene las ventajas de cada una de las tres acciones de control individuales. La ecuación de un controlador con esta acción combinada se obtiene mediante:

En donde Kp es la ganancia proporcional, Ti es el tiempo integral y Td es el tiempo derivativo. El diagrama de bloques de un controlador proporcional-integral-derivativo es la siguiente:

Si e(t) es una función rampa unitaria, como la que se observa en la figura siguiente:
La salida del controlador u(t) se convierte en:

Los PID en la actualidad:

Históricamente, ya las primeras estructuras de control usaban las ideas del control PID. Sin embargo, no fue hasta el trabajo de Minorsky de 1922, sobre conducción de barcos, que el control PID cobró verdadera importancia teórica. Hoy en día, a pesar de la abundancia de sofisticadas herramientas y métodos avanzados de control, el controlador PID es aún el más ampliamente utilizado en la industria moderna, controlando más del 95% de los procesos industriales en lazo cerrado.

Sintonización de los PIDs.

Debido a su difundido uso en la práctica, presentamos a continuación varios métodos de ajuste empírico de controladores PID, basados en mediciones realizadas sobre la planta real. Estos métodos, referidos como clásicos, comenzaron a usarse alrededor de 1950. Hoy en día, es preferible para el diseñador de un PID usar técnicas basadas en modelo.

Los métodos clásicos de ajuste que presentaremos son:

El método de oscilación de Ziegler-Nichols.
El método de la curva de reacción de Ziegler-Nichols.
El método de la curva de reacción de Cohen-Coon.
Método de oscilación de Ziegler-Nichols

Este método es válido sólo para plantas estables a lazo abierto. El procedimiento es el siguiente:
1. Aplicar a la planta sólo control proporcional con ganancia Kp pequeña.
2. Aumentar el valor de Kp hasta que el lazo comience a oscilar. La oscilación debe ser lineal y debe detectarse en la salida del controlador (u(t)).
3. Registrar la ganancia crítica Kp = Kc y el período de oscilación Pc de u(t), a la salida del controlador.
4. Ajustar los parámetros del controlador PID de acuerdo al Cuadro 1.

Cuadro 1: Parámetros de controladores PID según
el método de oscilación de Ziegler-Nichols.

Es importante saber cuál es la estructura (estándar, serie o paralelo) del PID al que se aplica el ajuste propuesto por Ziegler y Nichols. Existe cierta controversia respecto a cuál fue la estructura originalmente usada por Ziegler y Nichols; las reglas dadas aquí se proponen para la estructura estándar.

Desempeño con el método de oscilación de Z-N

Notar que el modelo intrínsecamente obtenido en el experimento es sólo un punto de la respuesta en frecuencia, que corresponde a fase -180 y magnitud , dado que el diagrama de Nyquist cruza el punto (-1;0) cuando Kp = Kc.
Para analizar el efecto del ajuste de control proporcionado por el método de oscilación de Ziegler-Nichols consideremos una planta general con función transferencia

La Figura muestra la respuesta del lazo cerrado con un controlador PID ajustado mediante el método de oscilación de Ziegler-Nichols para distintos valores de . El eje de tiempos se representa normalizado en unidades de .

Figura1: Respuesta a lazo cerrado de la planta (*) con PID ajustado mediante el método de oscilación de Ziegler-Nichols

Vemos que el ajuste es muy sensible al cociente . Otra limitación es que se requiere forzar en la planta una oscilación que puede ser peligrosa o inconveniente en muchos casos.

Método de la curva de reacción de Ziegler-Nichols

Muchas plantas en la práctica pueden describirse satisfactoriamente con un modelo de la forma (*). Una versión linealizada cuantitativa de este modelo puede obtenerse mediante un experimento a lazo abierto con el siguiente procedimiento:
1. Llevar manualmente la planta a lazo abierto a un punto de operación normal manipulando u(t). Supongamos que la planta se estabiliza en y(t) = y0 para u(t) = u0.
2. En un instante inicial t0 aplicar un cambio escalón en la entrada, de u0 a (el salto debe estar entre un 10 a 20% del valor nominal.
3. Registrar la respuesta de la salida hasta que se estabilice en el nuevo punto de operación. La Figura 2 muestra una curva típica.
4. Calcular los parámetros del modelo (*) de las fórmulas:

Los parámetros del controlador PID propuestos por Ziegler y Nichols a partir de la curva de reacción se determinan del Cuadro 2.

Cuadro 2: Parámetros de controladores PID según el método
de la curva de reacción de Ziegler-Nichols

Desempeño con el método de la CR de Z-N

Consideramos nuevamente la planta genérica (*) para analizar el desempeño obtenido con el ajuste de Ziegler-Nichols a partir de la curva de reacción.

Figura 3: Respuesta a lazo cerrado de la planta (3) con PID
ajustado de la curva de reacción vía Ziegler-Nichols.

Método de la curva de reacción de Cohen-Coon

La Figura 3 muestra que el ajuste de Ziegler y Nichols para la curva de reacción es muy sensible a variaciones de . Cohen y Coon desarrollaron una tabla modificada para mejorar esta limitación usando datos del mismo ensayo.

Cuadro 3: Parámetros de controladores PID según el método
de la curva de reacción de Cohen-Coon.
Desempeño con el método de la CR de C-C

La Figura 4 muestra la respuesta de lazo cerrado con el ajuste Cohen-Coon. Aunque aún es sensible a , la respuesta es mucho más homogénea que con el ajuste Ziegler-Nichols.

Figura 4: Respuesta a lazo cerrado de la planta (3) con PID
ajustado de la curva de reacción vía Cohen-Coon

Aplicaciones de los PIDs

Es interesante señalar que más de la mitad de los controladores industriales que se usan hoy en día utilizan esquemas de control PID o PID modificado. Los controladores PID analógicos son, principalmente, de tipo hidráulico, neumático, electrónico, eléctrico o sus combinaciones. En la actualidad, muchos de éstos se transforman en formas digitales mediante el uso de microprocesadores.

Debido a que casi todos los controladores PID se ajustan en el sitio, en la literatura se han propuesto muchos tipos diferentes de reglas de sintonización, que permiten llevar a cabo una sintonización delicada y fina de los controladores PID en el sitio. Asimismo, se han desarrollado métodos automáticos de sintonización y algunos de los controladores PID poseen capacidad de sintonización automática en línea. Actualmente se usan en la industria formas modificadas del control PID, tales como el control I-PD y el control PID con dos grados de libertad. Es posible obtener muchos métodos prácticos para una conmutación sin choque (desde la operación manual hasta la operación automática) y una programación del aumento. La utilidad de los controles PID estriba en que se aplican en forma casi general a la mayoría de los sistemas de control. En el campo de los sistemas para control de procesos, es un hecho bien conocido que los esquemas de control PID básicos y modificados han demostrado su utilidad para aportar un control satisfactorio, aunque tal vez no aporten un control óptimo en muchas situaciones específicas.

Conclusiones:

ü Los controladores PID se usan ampliamente en control industrial.
ü Desde una perspectiva moderna, un controlador PID es simplemente un controlador de segundo orden con integración. Históricamente, sin embargo, los controladores PID se ajustaban en términos de sus componentes P, I y D.
ü La estructura PID ha mostrado empíricamente ofrecer suficiente flexibilidad para dar excelentes resultados en muchas aplicaciones.
ü El término básico en el controlador PID es el proporcional P, que origina una actuación de control correctiva proporcional el error.
ü El término integral I brinda una corrección proporcional a la integral del error. Esta acción tiene la ventaja de asegurar que en última instancia se aplicará suficiente acción de control para reducir el error de regulación a cero. Sin embargo, la acción integral también tiene un efecto desestabilizador
ü debido al corrimiento de fase agregado.
ü El término derivativo D da propiedades predictivas a la actuación, generando una acción de control proporcional a la velocidad de cambio del error. Tiende dar más estabilidad al sistema pero suele generar grandes valores en la señal de control.
ü Varios métodos empíricos pueden usarse para determinar los parámetros de un PID para una dada aplicación. Sin embargo, el ajuste obtenido debe tomarse como un primer paso en el proceso de diseño.
ü Debe prestarse atención al particular tipo de estructura de PID disponible (por ejemplo, estándar, serie o paralelo).
ü En capítulos posteriores veremos métodos sistemáticos para ajustar controladores PID.